T ... perioda (doba kmitu) - doba, za kterou proběhne jeden kmit a
oscilátor dospěje do stejné polohy jako v počátečním okamžiku
(jednotka - sekunda)

f ... frekvence (kmitočet) - udává počet kmitů za jednu sekundu f =
1/T (jednotka - hertz Hz)

1.2 Harmonické kmitání

Při pohybu mechanického oscilátoru se okamžitá výchylka y periodicky
mění (vzhledem k rovnovážné poloze nabývá kladných i záporných
hodnot)

y ... okamžitá výchylka (s časem se mění podle funkce sinus)

y[m] ... amplituda výchylky - absolutní hodnota největsí výchylky

Rovnice pro kinematické veličiny harmonického kmitání (okamžitou
výchylku, okamžitou rychlost a okamžité zrychlení) odvodíme
srovnáním kmitavého pohybu s pohybem rovnoměrným po kružnici
(průmět do svislé roviny)

φ ... fáze kmitavého pohybu (v každém okamžiku určuje jednoznačně
okamžitou výchylku: φ = ω.t

Okamžitá výchylka kmitavého pohybu:

y = y[m]. sin ω.t

ω ... úhlová frekvence (u pohybu po kružnici úhlová rychlost): ω =
2.π/T = 2.π.f

Jednotkou úhlové frekvence je radián za sekundu (rad.s^-1)

Rychlost kmitavého pohybu:

v = v[0]. cos ω.t = ω.y[m]. cos ω.t (v[0] ... vektor rychlosti pohybu
rovnoměrného po kružnici)

V rovnovážné poloze (y = 0) je rychlost kmitajícího tělesa
největsí (v[m] = ω.y[m]), v krajních polohách (y = ±y[m]) je
rychlost tělesa nulová.

Zrychlení kmitavého pohybu:

a = -a[0]. sin ω.t = -ω^2.r. sin ω.t (a[0] ... vektor zrychlení pohybu
rovnoměrného po kružnici)

Protože r = y[m] a r. sin ω.t = y, platí a = -ω^2.y

Zrychlení harmonického kmitavého pohybu je přímo úměrné okamžité
výchylce a v každém okamžiku má opačný směr než výchylka.
Kmitavý pohyb je při pohybu tělesa z rovnovážné polohy zpomalený a
při pohybu do rovnovážné polohy zrychlený.

V rovnovážné poloze (y = 0) je zrychlení kmitajícího tělesa
nulové, v krajních polohách (y = ±y[m]) je zrychlení tělesa
maximální (amplituda zrychlení) a[m] = ω^2.y[m].

Fáze kmitavého pohybu

φ[0] ... počáteční fáze kmitavého pohybu - určuje hodnotu
okamžité výchylky (rychlosti, zrychlení) v počátečním okamžiku
(t[0]).

Pro okamžitou výchylku pak platí: y = y[m]. sin (ω.t + φ[0])

Pro okamžitou rychlost: v = ω.y[m]. cos (ω.t + φ[0])

Fázový rozdíl dvou harmonických veličin stejné frekvence je určen
rozdílem jejich počátečních fází: Δφ = (ω.t + φ[02]) - (ω.t +
φ[01]) = φ[02] - φ[01

]Je-li fázový rozdíl Δφ = 2.k.π (pro k = 0, 1, 2, ...), mají obě
veličiny stejnou fázi.

Je-li fázový rozdíl Δφ = (2.k+1).π, mají obě veličiny opačnou
fázi.

Složené kmitání

Jestliže hmotný bod koná současně několik harmonických kmitavých
pohybů téhož směru s okamžitými výchylkami y[1], y[2], ... y[k],
je okamžitá výchylka y výsledného kmitání y = y[1] + y[2] + ...
y[k].

Okamžité výchylky mohou mít kladnou i zápornou hodnotu.

Časový průběh okamžité výchylky složeného kmitání závisí na
amplitudě výchylky, úhlové frekvenci a počáteční fázi
jednotlivých složek.

Skládáním dvou harmonických kmitání o stejné frekvenci vzniká
opět harmonické kmitání téže frekvence.

Jestliže fázový rozdíl Δφ = 0, je amplituda výchylky složeného
kmitání největsí: y[m] = y[m1] + y[m2].

Jestliže fázový rozdíl Δφ = π rad, je amplituda výchylky
složeného kmitání nejmensí: y[m] = |y[m1] - y[m2]|. V případě,
že y[m1 =] y[m2], je výchylka stále nulová a kmitání zaniká.

Skládáním kmitání různé úhlové frekvence (ω[1] ≠ ω[2])
vzniká složené kmitání, které není harmonické.

1.6 Dynamika kmitavého pohybu

Pohybová rovnice harmonického kmitavého pohybu: F = m.a = -m.ω^2y

Příčinou kmitavého pohybu tělesa na pružině je síla pružnosti.
Jak závisí úhlová frekvence ω na vlastnostech oscilátoru (hmotnost m
tělesa, tuhost k pružiny)?

Tuhost pružiny: k = F/Δl (Δl = l-l[0] ...prodloužení pružiny
způsobené tahovou silou F); Jednotka tuhosti: N/m

V rovnovážné poloze působí na těleso síla pružnosti F[p] = k.Δl
a stejně velká tíhová síla F[G] = m.g. Platí: k. Δl = m.g

Po rozkmitání tělesa se síla pružnosti mění, tíhová síla
zůstává stálá.
Výsledná síla: F = F[p +] F[g =] k. (Δl-y) - m.g = k. Δl - m.g - k.y
= - k.y

Na kmitající těleso působí proměnlivá výsledná síla F = - k.y,
která stále směřuje do rovnovážné polohy.

F = -k.y = -m.ω^2y → ω = √k/m (T = 2π√m/k, f = 1/2π.√k/m)

Úhlová frekvence volně kmitajícího mechanického oscilátoru závisí
jen na jeho parametrech (m,k).

1.8 Energie kmitavého pohybu

Zavěsením tělesa na pružinu získá oscilátor klidovou potenciální
energii E[0]. Ta se skládá z potenciální energie tíhové E[pt]
tělesa, které jsme zvedli do výsky h a z potenciální energie
pružnosti E[pr] deformované pružiny: E[0] = E[pt] + E[pr] = mgh + ½
k(Δl)^2.

Když oscilátor rozkmitáme, zvětsí se jeho celková energie E[celk] o
energii kmitání. Při okamžité výchylce y má oscilátor rychlost
v a platí:

E[celk] = mg(h+y) + ½ k(Δl - y)^2 + ½ mv^2 = mgh + ½ k(Δl)^2 + ½
ky^2 + ½ mv^2 = E[0] + E[km

]Energie kmitání E[km] má dvě složky: energii kinetickou E[k] = ½
mv^2 a energii potenciální E[p] = ½ ky^2.

Dosadíme-li okamžité hodnoty y a v, dostaneme pro kmitání s nulovou
počáteční fází:

E[km] ^= ½ ky[m]^2 sin^2ωt + ½ m. ω^2y[m]^2cos^2ωt = ½ k.y[m]^2 =
½ m.v[m]^2 = konst.

Výraz ½ k.y[m]^2 vyjadřuje maximální hodnotu potenciální energie,
kterou má oscilátor při dosažení amplitudy výchylky. Výraz ½
m.v[m]^2 vyjadřuje maximální kinetickou energii, kterou má oscilátor