M. Hvoždara, M. Gajdošová: Matematické základy teórie geofyzikálnych metód I

y

z

v z ϑ Γ2

w w Γ1 ∆w

γ1 ϑ γ2 z0

∆z θ

ψ w0

x Obr. 3.18 Ak nechame ∆z konvergovat’k nule, dostaneme v limite: ´ d w = |f (z0 )| ei arg[f (z0 )] d z .

u

(3.117)

Element d w dostaneme, ak element d z vynasobıme modulom derivacie f (z ) a pootoc´me ´´ ´ ˇı o uhol α, ktory sa rovna argumentu derivacie (branej v bode z 0). Ak su γ1 a γ2 dve krivky ´ ´ ´ ´ v rovine z prechadzajuce bodom z0 zvierajuce spolu uhol ϑ, potom ich obrazmi su krivky Γ 1 ´ ´ ´ ´ a Γ2 v rovine w, ktore zvieraju ten isty uhol ϑ, preto taketo zobrazenie, ktore zachovava uhly, ´ ´ ´ ´ ´ ´ nazyvame konformnym. (Tieto vlastnosti vsak neplatia v bodoch, v ktorych sa f (z ) = 0 alebo ´ ´ ˇ ´ ˇ ´ ´ ∞). Vieme, ze ak f (z ) = u(x, y ) + i v (x, y ) je analyticka, potom z Cauchyho-Riemannovych ´naju Laplaceove rovnice v premennych x, y : podmienok plynie, ze tieto funkcie spl ˇ ´ ˇ ´ ∂ 2u ∂ 2u + = 0, ∂x2 ∂y 2 ∂ 2v ∂ 2v + = 0. ∂x2 ∂y 2 (3.118)

Ak je C > 0, potom jedna cast’tejto hyperboly lez´ vpravo a druha vl’avo od osi y . Ak je C < 0, ˇ ˇı ´ potom jedna cast’hyperboly lez´ nad osou a druha pod osou x. Pri C = 0 dostavame asymptoty ˇ ˇı ´ ´ tejto sustavy hyperbol – su to priamky y = ±x, co su symetraly kvadrantov suradnicoveho ´ ´ ˇ´ ´ ´ ´ systemu x, y . Obrazok 3.19 znazornuje tie casti tychto hyperbol pre u = C = 0, ±2, ±4, ±6, ´ ´ ´ˇ ˇ ´ ktore sa nachadzaju v prvom kvadrante. Ak poloz´me v = konst, potom v rovine (x, y ) dostavame ´ ´ ´ ˇı ˇ ´ 82

Z hl’adiska fyzikalneho to znamena, ze u(x, y ) a v (x, y ) mozno povazovat’ za potencialy ´ ´ˇ ˇ ˇ ´ ’a (zavisleho iba na suradniciach x, y ). Pritom vlastnost’(3.116) niektoreho dvojrozmerneho pol ´ ´ ´ ´ ´ ukazuje, ze ak krivky u(x, y ) = konst su ekvipotencialnymi lıniami, potom lınie v (x, y ) = ˇ ˇ´ ´ ´ ´ konst su k nim ortogonalne, teda ukazuju smer prudociar vektoroveho pol’a v = grad u. Tak ˇ´ ´ ´ ´ˇ ´ napr. pomocou funkcie f (z ) = z 2 = x2 − y 2 + i 2xy dostavame dve zdruzene (konjugovane) ´ ˇ´ ´ 2 2 ´naju Cauchyho-Riemannove podmienky, funkcie u(x, y ) = x − y a v (x, y ) = 2xy , ktore spl ˇ ´ ´ a teda aj Laplaceove rovnice (3.118). Ak preskumame krivky u(x, y ) = konst zistıme, ze su to ´ ˇ ´ ˇ´ hyperboly, ktorych rovnica je: ´ x2 − y 2 = C . (3.119)

Univerzita Komenského, Bratislava 2003