38
P řiklad 4. Vypočítajme

J. Funkcia jednej reálnej premennej

n—•oo

h ra

2 n + sin n ' .
3n — 1

Riešenie. P retože pre každé prirodzené číslo n platí —1 m áme 2n — 1 3n - 1 " 2n + sin n 2n + 1 3»- 1 - 3n - 1 *
l

^ s in n á l

p re n = 1, 2, 3, . . . . Postupnosti {(2n - l)/(3n - l ) } £ . vergentné a ich limity sú rovnaké.
» * z J = l im fr- 1 '* n -vco 3 n — 1 7,-voo 3 - 1/n l im

ř

{(2n + l)/(3n - l)}n-i flů však kon•
_^ 3—0 1 3

i
l im
2n

n—•oo

l im 2 — lim 1 In — »~~ = lim.3 — lim 1/n
n—+oo

=

9

+

1

= Jim
W

2

+ lln

l im 2 + lim 1/n _ n—OO n-»co
1/n ~ lim 3 — lim 1/n n-*oo n-*oo

2 + 0 _ jí
~ 3— 0~T*

W - O 3n - 1 ^C

—CO 3 —

P odia v e t y 10 je aj daná p Dstupnost k onvergentná a platf U m 2n + s in n
n—*oo
w

2
J&

3n — 1

Přiklad 5 . Dokažme, že l im _ = o.

Riešenie. D aná postupnost je nerastúca a zdola ohraničená, pretože platí n+1 a
•

n >0

n+1

an

p re každé prirodzené číslo n . P r e t o podia vety 3 je t á t o postupnost konvergentná. Ak A j e jej l imita, z vety 9 vyplývá l im
^
= A

SO,
r

71—OO 2«

U važujme vybránu postupnost { a t / a 4 , , . . , a ^ , . . . } z danej postupnosti. P ř e t u t o vybránu p ostupnost podia vety 5 je A = l im == 2 l im — . lim — = 2 . A , 0 = 0 •

p ričom sme použili v z t a h (11)/ T ý m sme dokázali, že lim n / 2 n = 0 .
. n -*oo

P říklad 6. Dokažme, že postupnost

m á nevlastnú limitu.

IT • L
fn
+

li4*