2,2. Postupnost komplexných čísiel Reálnou častou postupnosti komplexných čisiel { a * } ^ nazýváme postupnosť { R e o * } ? * , . Imaginárnou častou postupnosti komplexných čisiel (1) nazýváme postupnost { I m a , } í = I .

67

N ech je rastúca postupnosť pxirodzených čisiel. Postupnost {a*.}ř=i je vybraná, p ostupnost z postupnosti (1) podia postupnosti {fc* } ? , x . P ostupnost komplexných čisiel (1) je ohraničená, ak pre vietky členy tejto postupnosti platí k de O je nezáporné číslo. £-okolím komplexného čísla a n azýváme množinu váetkých kompteitných čisiel, pra ktoré platí |z — a | < V G aussovej rovině je to vnútro kruhu s polomerom E a so s tredom v bode a. Lim LU postupností komplexných řfslel. Komplexné čialo a n azýváme limitou postupnosti kom­ plexných čisiel (1), ak v lubovolnom okolí čisla a fežia skoro věetky Členy tejto postupnosti, čiše k u každému kladnému číslu e e xistuje prirodzené číslo N(e) t aké, že pře každé prirodzené Číslo n > N(e) p latí Jan — aj < e a o značujeme l i m = a. P ostupnost komplexných Čisiel, ktorá má limitu, Um a» « a , n azývá sa konvergentná. P o ­ stupnost, ktorá nie je konvergentná, nazývá sa divergentné. Vlastnosti: .

*

Veta 1. Postupnost komplexných čísiel {an)£_t k onverguje ku komplexnému číslu a v tedy a l en vtedy, ked postupnosť {\an — k onverguje k číslu 0. Veta 2. Postupnost komplexných čísiel {c*»}?»i — { Reo„ + i I m a , ^ konverguje ku kom­ plexnému číslu a — Re a + i Irn a v tedy a len vtedy, ked postupnost {Re a*}n-i k onverguje k Re a a p ostupnost {Ira o J I }gL l k onverguje k Im a. Veta 8. P ostupnost komplexných Čísiel {on}S .1 konverguje k u komplexnému číslu a v tedy a len vtedy, ak platí l im \an | — \a\ a l im Arg a* ** Arg a,
,

0

k de Arg a* sú vhodné zvolené hodnoty argumente v čísiel a*. P o z n á m k a . Pře postupnosti komplexných čisiel platia analogické vety k větám 1, 2, 8, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 16, 16 z článku 1,3 Přiklad 1. Vypočítajme

lim 1 / 1 + V .
Bbeicnie. P odia Moivrovej vety dostaneme

{ i (ITYT.-*

=

R

[cos (

-= J — — sin (n rc/4) + i— cos (n w/4)>

*/4) f1

+18in

"
1

[co8 (n

1*

*/4) * *

<» *

/4

C."

P očítajme limity z reálnej a imaginárnej časti danej postupnosti. P latí l im

-lil s in (n 7c/4) = o

lim -L cos (7t w/4) — 0, ke