3, Diferenciálny počet funkcie jednej reálnej premennej

b) y = | x | v intervale < — 1, 1)>;
f x sin (TC/X)
C

3

pre

x e (O,

1),

l

O

p re

x = 0.
5

362, Zistite, prečo neplatí Rolleho veta pre funkciu y = f(x) v i ntervale , ak * p ře p ře 0<«ál. x = 0; b) y — 1 - ]/a; , x e < — 1 , 1>; c) y = | g | — 1, xe{—1, 1>.
2

3 63. Ukažte, že nasledujúce rovnice majů iba jediný reálny kořeň a nájdite inter­ val, v ktorom tento reálny kořeň leží: a) x — 3 x + 6x + 1; b) x* + a x + bx 4- c = 0,
2 s 2

ak

a - 36 < 0;

2

c) 2e* - 3e~* + x* + 18a: - 6 = 0. 3 64. Nech /(#) = + 4) (x + 3) (x — 1). Dokažte bez výpočtu, že rovnica f"{x) = 0 v i ntervale (—4, 1) má kořeň.
•

366. Pomocou Rolleho vety dokažte, že ak algebraická rovnica m á všetky kořene reálné, potom aj rovnica

* wv n_1 + (» — 1)
m á všetky kořene reálné.

+--•+=0

3 66. Zistite, či platí Langrangeova veta pře funkciu y = f(x) n a intervale (a, 6 ). N ájdite příslušné číslo c, pre ktoré platí f(b) - f{a) = /'(c) (6 - a), ak a ) y = 4 x 3 - 5 x 2 + a ; - 2 , <0,2>; c) y = l n x, <1, e>; b) y = x + 1/x, <1, 2>; d) y = a rcsin x, < — 1, 1>. 3 67. Dokažte, že platí: a) arctg 6 — arctg a <_ b — a, 2x b) — < sin x < x. ak ak 6 > a;
K

0< x<—;

c) 1 + - i - < ln (1 + e) < 1 + — ; e 1+e d) n a n _ 1 á —
6—a

^ nůn_1,

ak

0